Telset.id – Konjektur Graham, teka-teki matematika yang bertahan lebih dari lima dekade, akhirnya terpecahkan. Lisa Sauermann dari University of Bonn dan Huy Tuan Pham dari University of Chicago merilis makalah final pada Februari 2026 yang resmi menutup masalah ini. Penyelesaiannya tersebar dalam empat makalah yang melibatkan berbagai bidang matematika, dengan satu tema besar yang menyatukan semuanya: kekuatan keacakan dalam memunculkan pola.
Konjektur ini berakar pada pertanyaan yang diajukan Ron Graham pada 1971. Graham, yang dikenal juga sebagai pesulap dan penulis sejumlah makalah tentang matematika juggling, mempertanyakan apakah setiap himpunan bilangan bulat berbeda tanpa nol selalu bisa diatur ulang sehingga setiap jumlah parsialnya berbeda. Dalam bahasa juggling, ini berarti jika setiap bola berada di udara dengan durasi berbeda, selalu ada urutan lemparan agar dua bola tidak jatuh pada irama yang sama.
Jika semua bilangan positif, jawabannya jelas ya karena jumlah akan terus membesar. Hal serupa berlaku bila campuran bilangan positif dan negatif. Namun Graham mempertanyakan kasus bilangan yang hidup di dunia terbatas, seperti angka yang berputar mengikuti jam dan berulang setelah hitungan tertentu. Ia menduga jawabannya tetap ya.
Noga Alon, matematikawan dari Princeton University, menilai persoalan ini cocok dengan pertanyaan seputar desain dan struktur yang sangat simetris. Namun selama puluhan tahun, tak ada yang mampu membuktikan intuisi Graham. Situasi itu berubah ketika sejumlah matematikawan muda mengambil alih tantangan tersebut.
Dari Haystack hingga Anti-Concentration
Konjektur Graham beroperasi dalam dunia aritmetika jam. Seluruh bilangan ditempatkan pada garis bilangan, lalu garis itu dililitkan ke muka jam sehingga bilangan berulang setelah bilangan prima p. Jika p adalah 7, maka 0, 7, 14, dan semua kelipatan 7 lain setara, artinya dua bilangan positif seperti 3 dan 4 bisa menghasilkan nol. Graham bertanya: jika Anda memilih himpunan bilangan bukan nol dari garis bilangan ini untuk sembarang p, bisakah Anda selalu mengatur ulang agar jumlah parsialnya semua berbeda?
Tantangannya bergantung pada ukuran himpunan dibandingkan p. Semakin banyak bilangan dipilih, semakin banyak jumlah yang harus dikelola. Namun bila bilangan yang dipilih sedikit, semakin sedikit pula cara mengaturnya. Kasus-kasus berbeda ini melahirkan pendekatan yang berbeda.
Müyesser bersama mantan pembimbingnya, Alexey Pokrovskiy dari University College London, menangani kasus ketika himpunan mencakup hampir semua bilangan hingga p. Dengan himpunan sebesar itu, membangun urutan yang valid sangat sulit. Ternyata memulai dengan urutan acak bisa membawa sebagian besar jalan menuju solusi. Müyesser menyebutnya sebagai masalah “menemukan jarum di tumpukan jerami” yang sering dikutip ilmuwan komputer.
Müyesser dan Pokrovskiy perlu memastikan tidak ada rangkaian bilangan di mana pun dalam urutan yang berjumlah nol. Sebab, menambahkan bilangan itu ke jumlah parsial sebelumnya akan mengulang jumlah tersebut. Urutan yang sepenuhnya acak mungkin punya beberapa rangkaian bermasalah. Karena itu, keduanya menyisihkan beberapa bilangan pilihan khusus, lalu mengacak sisanya. Mereka memindai urutan acak untuk mencari masalah; jika menemukan interval yang berjumlah nol, mereka menyisipkan salah satu bilangan cadangan untuk mengubahnya. Pada 2022, mereka memposting solusinya, meski tersembunyi dalam makalah yang berfokus pada penerapan teknik serupa untuk masalah yang lebih umum.
Beberapa tahun kemudian, Noah Kravitz dari Oxford, yang tidak mengetahui solusi Müyesser dan Pokrovskiy, menemukan konjektur Graham di arsip online masalah tak terpecahkan. Ia memutuskan mendekati konjektur dari ujung sebaliknya. Bersama Benjamin Bedert dari Oxford, ia mempertimbangkan kasus ketika himpunan bilangan sangat kecil dibandingkan p. Kravitz dan Bedert menyelesaikan konjektur Graham untuk kasus-kasus itu dan memposting buktinya pada September 2024.
Müyesser melihatnya dan menghubungi mereka, membagikan karyanya sendiri. Ketiganya kemudian bergabung untuk memperluas pendekatan awal Müyesser. Kravitz menyebutnya sebagai kombinasi orang yang cukup tak terduga karena ia dan Müyesser berasal dari dua area kombinatorika yang biasanya tidak berkolaborasi. Makalah mereka, yang diposting pada Agustus 2025, menangani lebih banyak kasus ketika himpunan bilangan relatif besar dibandingkan p.
Namun di antara kasus himpunan besar dan kasus himpunan kecil yang sudah ditangani Kravitz dan Bedert, masih tersisa celah. Tidak ada yang bisa memecahkan apa yang harus dilakukan pada himpunan berukuran sedang, seperti himpunan yang mencakup kira-kira setengah jumlah bilangan p. Müyesser mengakui metode mereka tidak berfungsi di sana dan ada alasan jelas mengapa metode itu tidak akan berhasil. Penelitian pun tampak akan memasuki hiatus panjang lagi.
Baca Juga:
Kemudian, pada Februari 2026, sebuah kejutan muncul online. Di sebuah konferensi, Sauermann dan Pham mendengar dua pembicaraan tentang konjektur Graham dari matematikawan yang mencoba namun gagal menjembatani celah tersebut. Mereka tertarik. Ternyata Sauermann pernah menemui masalah yang berkaitan erat dalam International Mathematical Olympiad saat masih siswa SMA. Ia menyelesaikannya dengan benar, dan saat lulus SMA ia telah meraih medali emas di kompetisi bergengsi itu empat kali. Kemungkinan besar Chung yang menempatkan masalah itu pada ujian tahun tersebut, karena ia berada di komite penulis soal dan sering mengambil inspirasi dari teka-teki Graham.
Pada akhir kunjungan tiga hari mereka, Sauermann dan Pham memiliki rencana untuk memecahkan kasus tersebut. Rencananya bergantung pada metode yang secara teknis menantang bernama anti-concentration. Dalam konteks ini, pernyataan anti-concentration menegaskan bahwa suatu peristiwa memiliki peluang sangat kecil untuk terjadi. Namun mekanika pembuktian pernyataan semacam itu begitu rumit sehingga Kravitz dan yang lain menyadari pendekatan anti-concentration mungkin berhasil, tetapi mereka tidak cukup berani mencobanya.
Sauermann dan Pham memulai dengan cara para pendahulu mereka. Mereka mengacak ulang himpunan bilangan dan menyusun prosedur untuk memperbaiki masalah, yakni rangkaian yang berjumlah nol. Setiap kali menemukan rangkaian zero-sum, mereka menukar bilangan terakhir dalam rangkaian itu dengan bilangan lain. Prosedur ini sering berjalan mulus. Namun tiga jenis “bad events” bisa membuatnya gagal. Pertama, rangkaian zero-sum mungkin muncul mendekati akhir keseluruhan susunan sehingga tak ada bilangan lain untuk ditukar. Kedua, banyak rangkaian zero-sum mungkin muncul terlalu berdekatan sehingga mustahil memperbaiki semuanya. Ketiga, memperbaiki satu rangkaian buruk bisa menciptakan rangkaian zero-sum lain di kemudian hari.
Sauermann dan Pham berharap membuktikan lewat anti-concentration bahwa masing-masing bad event cukup kecil kemungkinannya. Dengan begitu, harus ada cara mengatur ulang himpunan bilangan untuk memenuhi konjektur. Untuk itu, keduanya memakai analisis Fourier, area matematika yang memungkinkan penulisan ulang fungsi sebagai jumlah gelombang sederhana, guna menunjukkan bahwa secara umum ketika menjumlahkan himpunan bilangan acak, tidak ada satu jumlah pun yang sangat mungkin muncul. Mereka lalu memakai wawasan ini untuk memperkirakan peluang setiap bad event, dan akhirnya menunjukkan total peluang mendapatkan bad event kurang dari 100 persen. Itu cukup untuk menuntaskan konjektur.
Beberapa bulan setelah kunjungan mereka di Jerman, Sauermann dan Pham memposting bukti setebal 27 halaman secara online. Mereka tidak hanya menunjukkan bahwa pengaturan ulang yang memuaskan selalu mungkin, tetapi juga bahwa urutan acak dapat diatur ulang untuk menghilangkan bad events setidaknya 90 persen dari waktu. Angka itu disebut sebagai tingkat keberhasilan yang masif. Para matematikawan yang sebelumnya menggarap masalah ini terkejut melihat kasus tersisa ditutup begitu cepat. Müyesser menyebut pendekatan mereka benar-benar berbeda.
Secara bersama, keempat makalah membuktikan konjektur Graham untuk himpunan segala ukuran. Namun semuanya mengasumsikan p sangat besar. Meski belum ada yang menghitung nilai persisnya, bayangkan angka di kisaran 10 pangkat 100. Bagi matematikawan, itu tidak masalah karena poin utamanya adalah bekerja dalam pengaturan aritmetika jam. Namun satu aspek lain secara teknis masih belum terpecahkan, yakni kemungkinan menyelesaikan konjektur untuk semua p. Dan jika Anda ingin memakai hasil ini untuk mengoreografikan rutinitas juggling sungguhan, Anda kurang beruntung karena untuk menyesuaikan p sebesar itu, rutinitasnya harus jauh terlalu panjang.
Bukti tersebut menegaskan bahwa bahkan dalam pengaturan bilangan yang aneh dan terbatas ini, selalu ada struktur bagus yang eksis. Anda selalu bisa mencapai tingkat fleksibilitas tertentu dengan mengocok bilangan dalam himpunan untuk menghindari jumlah parsial yang sama. Chung menilai kemampuan merumuskan masalah yang baik benar-benar sebuah seni. Ia yakin Ron Graham akan sangat senang melihat masalah itu terpecahkan. Kisah sains seperti ini juga sejalan dengan liputan teknologi lain, misalnya saat VW ID. Polo meraih penghargaan German Car of the Year 2027.
[ META_DESCRIPTION ]
Konjektur Graham yang bertahan 55 tahun akhirnya terpecahkan lewat empat makalah. Lisa Sauermann dan Huy Tuan Pham menutup masalah ini pada Februari 2026.
Komentar
Belum ada komentar.